L'analisi statica non lineare

Una volta individuati gli elementi resistenti e costruito il modello di calcolo secondo le indicazioni date nel paragrafo precedente, si procede con l'esecuzione dell'analisi statica non lineare, altrimenti detta analisi pushover.

L’analisi è condotta assoggettando l’edificio all’azione contemporanea dei carichi verticali, derivanti da una opportuna combinazione dei carichi permanenti e variabili (Sismica pushover) e delle forze statiche equivalenti al sisma (con distribuzione lineare o costante sull'altezza) che generano nella muratura i taglianti di piano cumulati in altezza.
Fissata una direzione sismica, l'analisi pushover procede per incrementi successivi delle forze sismiche, determinando per ogni passo di carico il taglio e la duttilità residua dei setti.
Come abbiamo già visto, per i setti si assume un comportamento elasto-platico a duttilità limitata, ed è possibile quindi stabilire per ognuno di essi se nel passo di carico si raggiunga il limite di duttilità, ovvero la soglia di collasso locale, nel qual caso il setto è dichiarato collassato e non darà più alcun contributo all'assorbimento del tagliante sismico nei passi di carico successivi. Col progredire dei collassi locali la struttura perde progressivamente capacità portante nei confronti delle azioni orizzontali. Quando il calo della forza resistente raggiunge un limite prefissato, si assume raggiunto il limite di collasso e l'analisi ha termine.
Si procede quindi con una successiva analisi pushover, facendo variare la direzione del sisma secondo una scansione predefinita e la distribuzione delle forze sismiche sull'altezza del fabbricato.
Nel corso del processo, per ogni analisi eseguita si riconoscono inoltre le condizioni di raggiungimento degli stati limite di interesse definiti dalla normativa.
Stati limite di interesse per analisi secondo Ntc08
Per analisi secondo le Ntc08, si considerano i seguenti stati limite e le relative disposizioni:
Slo stato limite di operatività

si suppone che lo stato limite di operatività sia raggiunto quando nel corso dell'analisi pushover lo spostamento orizzontale relativo in un setto raggiunge una percentuale prefissata dell'altezza del setto stesso (do duttilità limite Slo), in questo caso pari a 2/3 del corrispondente valore limite prefissato per Sld per i vari tipi di muratura (p. C7.8.1.5.4 e p.C8.7.1.4);

Sld stato limite di danno

si suppone che lo stato limite di danno sia raggiunto quando nel corso dell'analisi pushover lo spostamento orizzontale relativo in un setto raggiunge una percentuale prefissata dell'altezza del setto stesso (dd duttilità limite Sld), in questo caso pari al valore limite prefissato per i vari tipi di muratura (p. C7.8.1.5.4);

Slv stato limite di salvaguardia vita

si suppone che lo stato limite di salvaguardia vita sia raggiunto quando nel corso dell'analisi pushover, dopo aver raggiunto la massima forza resistente, per effetto della progressiva eliminazione dei setti giunti a collasso questa si riduca ad una percentuale prefissata fv del valore massimo raggiunto (p. C7.8.1.5.4);

Slc stato limite di collasso

Le Ntc08 definiscono anche quali siano gli stati limite da considerare nelle verifiche finali di capacità-domanda, in funzione della classe d'uso dell'edificio (p.C.7.1). In base a queste disposizioni, il programma attiva in automatico gli stati limiti richieste come impostazione predefinita, lasciando comunque all'utente la possibilità estendere le verifiche anche a stati limite non strettamente richiesti e di impostare direttamente alcuni parametri collegati (vedi paragrafo Opzioni di analisi).
Stati limite di interesse per analisi secondo Ntc96
Per analisi secondo le Ntc96, gli stati limite di interesse sono:
Sle stato limite elastico

si suppone che lo stato limite elastico sia raggiunto quando nel corso dell'analisi pushover lo spostamento orizzontale relativo in un setto raggiunge per la prima volta lo spostamento limite elastico, ovvero lo spostamento corrispondente al primo raggiungimento del taglio resistente;

Slf stato limite di fessurazione

si suppone che lo stato limite di fessurazione sia raggiunto quando nel corso dell'analisi pushover lo spostamento orizzontale relativo in un setto raggiunge per la prima volta lo spostamento limite di fessurazione, espresso come multiplo dello spostamento al limite elastico;

Slu stato limite ultimo o di collasso

si suppone che lo stato limite ultimo sia raggiunto quando nel corso dell'analisi pushover si raggiunge la massima forza resistente;

Le Ntc96 richiedono espressamente solo la verifica per lo stato limite ultimo, che è formulata direttamente in via semplificata come confronto fra la massima forza resistente e la forza sismica corrispondente alla massima accelerazione spettrale. Tuttavia nella prassi di calcolo si consideravano anche le verifiche per gli stati limite elastico e di fessurazione, condotti alla stessa maniera, salvo considerare opportuni fattori riduttivi per le accelerazioni spettrali massime.
Costruzione della curva di capacità pushover
Nel corso di ogni analisi pushover eseguita, al variare quindi della direzione del sisma e della distribuzione delle forze sull'altezza, il programma conserva tutte le informazioni necessarie alla costruzione della curva di capacità pushover, che rappresenta il percorso di equilibrio carico-spostamento dell'analisi effettuata. Le curve pushover sono disponibili in grafico una volta conclusa l’analisi e intervengono nella successiva procedura di verifica, che porterà alla valutazione delle accelerazioni al suolo (Pga) di capacità e di domanda.
L’analisi è ripetuta per ogni direzione sismica richiesta e nella sintesi finale viene evidenziato il minimo fattore di sicurezza registrato per gli stati limite di interesse.
Caratteristiche dell'algoritmo di calcolo
Dovendo tener conto di un comportamento deformativo diversificato per setti, è necessario procedere attraverso un’analisi di tipo incrementale-iterativa, dove il tagliante sismico è affetto da un moltiplicatore, inizialmente posto a 0 (zero), progressivamente crescente secondo incrementi opportunamente dosati in funzione del tipo di risposta che l’insieme strutturale esibisce.
Allo scopo si adotta un algoritmo iterativo basato sul metodo proposto da E. Riks, particolarmente efficace in problemi di elasto-plasticità in quanto, distinguendosi da altri metodi classici (Newton-Raphson e derivati) per il modo in cui ad ogni passo riesce a localizzare un nuovo punto di equilibrio, regolando l’ampiezza degli incrementi di carico e di spostamento in funzione del corrente stato iterativo, con un numero non elevato di passi e a basso impegno di memoria fornisce una ricostruzione completa del percorso di equilibrio, con tutte le informazioni richieste per la valutazione dei fattori di sicurezza cercati.
Le verifiche sismiche relative all'analisi pushover
Una volta che le curve dell'analisi pushover siano disponibili, è possibile eseguire le verifiche sismiche, che consistono nel valutare il grado di sicurezza della struttura muraria in relazione al raggiungimento di stati limite predefiniti in funzione della norma adottata.
Nel caso di analisi secondo Ntc08 si richiede il controllo della sicurezza per gli stati limite di operatività o di danno, a cui sono associati danni strutturali di modesta entità, dello stato limite di salvaguardia vita, corrispondente a danni importanti negli elementi strutturali, e dello stato limite di collasso, con danni strutturali molto gravi e conseguente perdita di capacità portante.
Nel caso di analisi secondo Ntc96 si richiede il controllo della sicurezza per lo stato limite di collasso. Anche se non richieste dalla norma, nel corso del processo di analisi si ricavano informazioni sul raggiungimento dello stato limite elastico e di fessurazione, utili per integrare il quadro complessivo dei risultati.
Nei due casi, l’analisi segue in parte un percorso comune, pur nelle differenziazioni di definizione degli stati limite e dei legami elasto-plastici che definiscono il comportamento del maschio murario. Si differenziano nettamente nella parte di verifica:

nel caso delle Ntc08, la verifica di sicurezza consiste nel confronto tra la capacità di spostamento ultimo della costruzione e la domanda di spostamento (Ntc08 punto 7.8.1.6), ottenuta quest'ultima costruendo il sistema bilineare equivalente ad un grado di libertà ed applicando lo spettro di risposta elastico per lo stato limite considerato (Ntc08 7.3.4.1, Opcm 3274 punto 4.5.4); la verifica è quindi espressa in termini di Pga, confrontando le accelerazioni al suolo che portano al raggiungimento dello stato limite (capacità di Pga) e quella richiesta dalla normativa (domanda di Pga);
nel caso delle Ntc96, la verifica di sicurezza consiste più semplicemente nel confronto fra il tagliante sismico resistente e il tagliante richiesto dalla normativa, anche in questo caso esprimibile in termini di accelerazioni equivalenti al suolo.