La maggior parte dei metodi dell'equilibrio limite assume come noto il punto di applicazione della forza normale  N  agente alla base della striscia (generalmente posizionato nel punto medio). In tal modo restano ancora  n-2  assunzioni da effettuare. Un modo semplice di introdurre ulteriori assunzioni è quello di definire la posizione delle forze orizzontali di interfaccia  E'  (come nel metodo di Janbu) od il rapporto  T/E'  tra le forze verticali ed orizzontali di interfaccia (come nei metodi di Bishop e di Spencer).

Metodi parzialmente equilibrati

Ciò conduce però ad un totale di  (n-1)  assunzioni e pertanto rende sovradeterminato il problema: diventa cioè impossibile verificare contemporaneamente tutte le equazioni di equilibrio del problema di cui almeno una viene ad essere ignorata (ad esempio l'equazione globale alla traslazione orizzontale nel metodo di Bishop o quella alla rotazione globale nel metodo di Janbu).

Metodi totalmente equilibrati

Metodi totalmente equilibrati, che verificano cioè tutte le equazioni del problema, possono essere ottenuti introducendo un ulteriore parametro incognito che permetta di pareggiare il numero di equazioni e di incognite.

I vari metodi per l'analisi di stabilità dei pendii disponibili in letteratura, a parte differenze di dettaglio relative al modo con cui sono calcolate le varie quantità in gioco o al modo in cui viene condotta la sequenza iterativa necessaria alla soluzione del problema, si differenziano sostanzialmente per il numero e tipo di assunzioni operate, come mostrato in tabella.


METODO

ASSUNZIONI OPERATE

EQUILIBRI MANCANTI:

Fellenius

Non sono considerate le forze di interstriscia

rotazione

Bishop

Si assumono nulle i tagli di interstriscia

traslazione

Janbu

Viene definita la posizione delle forze orizzontali di interstriscia E in funzione dell'altezza totale del concio

rotazione

Spencer

La risultante delle forze di interstriscia ha pendenza costante lungo tutta la massa scivolante

Traslazione
o rotazione

Morgenstern
Price

La direzione della risultante delle forze di interstriscia è definita usando una funzione arbitraria

nessuno

Bell

Viene ipotizzata la distribuzione delle tensioni normali sulla superficie di scivolamento

nessuno

Maksumovic

Come Morgenstern-Price. Differisce per il calcolo dei carichi esterni, per lo schema iterativo ed altri dettagli.

nessuno

Sarma

Come Morgenstern--Price. Differisce per la definizione del fattore di sicurezza che è assunto come moltiplicatore delle forze orizzontali esterne.

nessuno


I metodi di tipo totalmente equilibrato, come quello di Morgenstern-Price, risultano ovviamente di utilizzo più complesso ma sono allo stesso tempo più accurati ed affidabili.

I metodi disponibili in Aspen

Il programma ASPEN contiene una implementazione, per certi versi sofisticata, dei seguenti metodi:

  • Fellenius
  • Bishop
  • Janbu
  • Bell
  • Morgenstern-Price


Come si vede, accanto al metodo di Morgenstern-Price, che sarà in generale da preferirsi nell'analisi, sta inserita una ampia selezione di altri metodi, scelti tra quelli più diffusi nella pratica professionale, in modo da facilitare il confronto con risultati ottenuti per via diversa.

Fra questi, il metodo di Fellenius è senz'altro il più semplice ma anche il meno accurato

I metodi di Bishop e di Janbu rappresentano entrambi metodi classici ma ancora di amplissima diffusione.

Dei metodi totalmente equilibrati più recenti è stato inserito il solo metodo di Bell in quanto è il solo ad utilizzare assunzioni sensibilmente diverse da quello di Morgenstern-Price.

L'applicazione dei diversi metodi porta in generale a valutazioni diverse del fattore di sicurezza F (come dicevamo i risultati forniti dal metodo di Morgenstern-Price sono comunque da ritenersi più accurati). Tuttavia, a parte il metodo di Fellenius che, come noto, può condurre ad una forte sopravalutazione di F, le differenze sono usualmente contenute nell'ordine  del 1%.


Riferimenti

Come si è accennato, i metodi dell'equilibrio limite presuppongono una serie di ipotesi semplificative sul comportamento del pendio, ed in particolare sull'andamento delle forze di interstriscia, che, se pure possano in molti casi apparire ragionevoli, è comunque bene tener sempre presenti nell'interpretazione dei risultati. Per una migliore comprensione dei diversi metodi si consiglia la lettura dei lavori originali dei diversi autori, qui di seguito elencati:


  • Fellenius W., Calculation of the stability of earth dams, Trans. 2nd Congress on Large Dams, Washington, 1936, p. 445.
  • Bishop A. W., The use of the slip circle in the stability analysis of earth slopes, Geotechnique, vol. 5, pp. 7--11, 1955.
  • Bell J. M., General slope stability analysis, J. Soli Mech. and Foundation Div., ASCE, nov. 1968.
  • Janbu N., Slope stability computation, Embankment Dam Engineering, Casagrande Volume, pp. 47--86, 1973.
  • Morgenstern N. R. , Price V. E., The analysis of stability of general slip surfaces, Geotechnique, vol. 15, pp. 79--93, 1965.
  • Morgenstern N. R., Price V. E., A numerical method for solving the equations of stability of general slip surfaces, The Computer Journal, vol. 9, pp. 388--393, 1967.
  • Broms B.B., Lateral resistance of piles in cohesive soil, J. Soil Mech. Founf. Div. ASCE SM2, pp. 27-63, 1964.
  • Broms B.B., Lateral resistance of piles in cohesiionless, J. Soil Mech. Founf. Div. ASCE SM3, pp. 123-156, 1964.
  • Broms B.B., Earth pressures on piles in a row due to lateral soil movement, Soils and Foundations, vol.23, n.3, 1983.
  • Ito T., Matsui T., Hong W.P., Design method for stabilizing piles against landslide, one row of piles, Soils and Foundations, vol. 21, n.1, 1981


Utili per approfondire l'argomento e di facile reperibilità risultano i seguenti testi:


  • Lambe T. W., Whitman R. V., Soil Mechanics - SI version, Wiley, Singapore, 1979.
  • Bronmhead E. N. , Stabilità dei pendii, Flaccovio Editore, Palermo, 1986.