Se è stata selezionata l'opzione Analisi Dinamica, l'analisi è condotta in campo dinamico con la tecnica degli spettri di risposta. Vengono cioè, in via preliminare, determinati i modi propri di vibrazione della struttura e quindi la risposta al sisma di ciascuno di essi in base allo spettro di risposta fornito dalla norma scelta. Il singolo contributo modale è quindi visto come una condizione indipendente di carico da combinare con i contributi degli altri modi in sede di calcolo delle sollecitazioni con la regola di combinazione scelta. Il risultato di tale inviluppo è disponibile a valle dell’analisi. Le regole di combinazione attualmente disponibili sono due, cioè

  • SRSS (Square Root of Sum of Squares), radice quadrata della somma dei quadrati
  • CQC (Complete Quadratic Combination), combinazione quadratica completa

A valle dell’analisi sono riportati il periodo proprio, il fattore di partecipazione, la forma (prevalente X, prevalente Y, prevalente Y, torsionale) di ciascuno dei modi considerati e la percentuale di massa sismica totale attivata nell’analisi. Si ricorda che la maggior parte delle norme sismiche prescrivono che sia considerato un numero di modi di vibrazione sufficiente ad assicurare l’eccitazione di almeno l’85% della massa totale della struttura. Conviene tuttavia estendere questo limite minimo. In ragione dell’efficienza degli algoritmi di analisi utilizzata in Edisis, ciò non comporta sensibile appesantimento del calcolo. 

Modi di vibrazione

L'analisi è svolta con le stesse modalità  descritte per l'analisi statica fino ad ottenere la matrice di rigidezza globale dell'edificio. Ciò fatto si procede alla determinazione dei modi propri del sistema, definiti dalla condizione (armonica):

dove K ed M , sono rispettivamente la matrice delle rigidezze e la matrice delle masse sismiche, x è il modo di vibrazione ed ω la corrispondente pulsazione. I singoli modi non sono definiti in modulo e si può quindi assumere, per comodità, che siano normalizzati in modo che risulti:

A partire da questi risultati si ricava, per ciascuno dei modi:

il periodo di vibrazione:                        

l'accelerazione spettrale:                        

il fattore di partecipazione modale:        

la massa eccitata:                        

dove il vettore xg rappresenta un moto rigido nella direzione della forzante sismica (trascinamento).

Con le posizioni precedenti, il contributo del singolo modo di vibrazione è definito in termini di spostamenti e forze nodali dai vettori:

spostamenti nodali:                        

forze nodali:                                

L’analisi può essere estesa, in teoria a tutti i modi di vibrazione della struttura, ma essendo questi in numero eguale ai gradi di libertà della struttura e quindi dell’ordine delle decine di migliaia, viene in effetti arrestata ai primi “n” modi, essendo “n” il dato richiesto in input, che corrispondono a quelli a periodo proprio più elevato e generalmente a fattore di partecipazione più elevato e quindi più rappresentativi del comportamento dinamico della struttura. 

Fattori partecipazione modale

Ciò posto, il programma considera le direzioni sismiche lungo X, Y, Z ed R, essendo quest'ultima la direzione rotazionale associata all'eccentricità sismica addizionale, e determina per ogni modo di vibrare i fattori di partecipazione fx, fy, fz, fr in corrispondenza delle diverse componenti direzionali della forzante. I corrispondenti valori mx, my, mz, mr della massa eccitata dal modo nelle varie direzioni possono ottenersi tramite le relazioni:

mx = fx2         my = fy2                 mz = fz2         


Infine vengono determinate le percentuali di massa cumulata per sisma orizzontale Mh e per sisma verticale Mv, per il modo k-esimo sono definite dalle relazioni

               

Si noti che il valore cumulato della massa eccitata si ottiene come somma dei contributi dei singoli modi e quindi all'aumentare del numero di modi considerati nell'analisi il valore della massa totale eccitata cresce. Al riguardo la normativa impone di considerare nell'analisi dinamica modale un numero di modi tale che la massa partecipante totale sia superiore all'85% (Ntc96 p.B.6, Ntc08 p. 7.3.3.1, Ntc18 p.7.3.3.1) o al 90% (EN1998-1 p.4.3.3.3.1). Come si vedrà nel paragrafo successivo, la tecnica del completamento modale prevista dal programma consente di recuperare gli effetti dei modi trascurati nell'analisi ed è molto efficace anche per soddisfare i requisiti sulla massa partecipante totale.

Il programma procede rapidamente al calcolo dei modi di vibrazione richiesti per periodo decrescente. Si è posta una certa cura nell'ottimizzazione del codice e della procedura di decomposizione spettrale utilizzata in modo da rendere più spedita possibile questa fase. Ciascuna componente modale è considerata dal programma quale condizione di carico  indipendente che sarà successivamente combinata, ai fini del calcolo delle sollecitazioni, con la legge di combinazione scelta (SRSS o CQC) e con le modalità descritte nella sezione successiva. Infine, se sono stati attivati i completamenti modali in direzione orizzontale (X e Y) e verticale (Z), la percentuale totale di massa eccitata è, per definizione unitaria. 

Questo modo di procedere consente ad un tempo di massimizzare l'effetto del sisma sul modo considerato, riferendosi all'angolo di incidenza più restrittivo, e per valori dell'eccentricità addizionale diversi da zero, consente di trattare gli edifici a pianta allungata in un modo analogo a quello seguito nel caso di analisi statica. Dal punto di vista probabilistico, gli effetti sismici verticali vengono ritenuti indipendenti da quelli orizzontali, per cui si combinano con la regola della radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS).

Completamento modale

Come già detto, l’analisi modale non fornisce lo spettro completo della struttura, l’insieme cioè di tutti i suoi modi di vibrazione, ma solo quelli a periodo più elevato. Se il numero dei modi calcolati è sufficiente a comprendere quelli a maggiore partecipazione, ciò permette tuttavia una ricostruzione adeguata, anche se approssimata, della risposta dinamica. Edisis consente di arricchire questa informazione attraverso il completamento modale che mette in conto gli effetti della parte complementare dello spettro. Sono così determinati tre modi aggiuntivi, uno per ciascuna delle direzioni base dell’eccitazione sismica (X, Y e Z), che raccolgono gli effetti dei modi a basso periodo proprio (ma non necessariamente a fattore di partecipazione trascurabile). Il completamento è sempre conveniente in quanto consente una migliore accuratezza nella ricostruzione della risposta dinamica e diventa essenziale nei casi in cui vi sia una partecipazione significativa anche in modi a basso periodo proprio, come tipicamente avviene in corrispondenza ad azioni sismiche verticali. La componente verticale dell’accelerazione sismica agisce infatti prevalentemente su modi a basso o bassissimo periodo e quindi una rappresentazione che metta in conto solo i modi a periodo più elevato resta insufficiente a cogliere gli effetti.